零向量


零向量:大小为零的向量。

零向量也是惟一一个没有方向的向量。

对于其它任意数m,存在无数多个大小(模)为m的向量。它们构成一个圆。

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对任意正值m,有无数个向量的大小等于它

向向量


x + (-x) = 0

运算法则


向量的负向量:只要简单的将向量的每个分量都变负即可。

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向量变负

-[x y] = [-x -y]

-[x y z] = [-x -y -z]

-[x y z w] = [-x -y -z -w]

几何解释


向量变负,得到一个和原向量大小相等,方向相反的向量。

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向量的大小(长度或模)


向量的大小没有明确表示,需要计算。

向量的大小也称作向量的长度

运算法则


线性代数中,向量的大小用向量两边加竖线表示,这个标量的绝对值在标量两边加单竖线表示类似。

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向量大小

向量的大小就是向量各分量平方和的平方根。

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2D, 3D 向量的大小

几何解释


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向量大小公式的几何解释

标量与向量的乘法


标量与向量不能相加,但能相乘。相乘结果将得到一个向量,与原向量平行,但长度不同可方向相反。

运算法则

标量与向量的乘法非常直接,将向量的每个分量都与标量相乘即可。

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向量与标量相乘

应用到3D向量,如:

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3D向量与标量相乘

向量也能除以非零标量,效果等同于乘以标量的倒数。

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注意

  • 标量与向量相乘时,不需要写乘号。将两个量挨着写即表示相乘(常将标量写在左边)。
  • 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法。
  • 标量不能除以向量,并且向量不能除以另一个向量。
  • 负向量能被认为是乘法的特殊情况,乘以标量-1。

几何解释


向量乘以标量k的效果是以因子** k **缩放向量的长度。

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一个2D向量被多个因子乘的效果

标量化向量


单位向量就是大小为1的向量。

单位向量经常被称作标准化向量或更简单地称为法线

运算法则


对任意非零向量v,都能计算出一个和v方向相同的单位向量v(norm)。这个过程被称作向量的标准化,要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可。

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标准化向量

零向量不能被标准化。数学上这是不允许的,因为将导致除零。几何上也没有意义,因为零向量没有方向。

几何解释


2D环境中,如果以原点为尾画一个单位向量,那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆(单位圆的半径为1)。

3D环境中,单位向量将触到单位球。

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2D中的标准化向量

向量的加法和减法


如果两个向量的维数相同,那么它们能相加,相减。结果向量的维数与原向量相同。向量的回减法的记法和标量加减法的记法相同。

运算法则


向量加法的运算法则很简单:两个向量相加,将对应分量相加即可。

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两个向量相加

减法解释为加负向量,a-b=a+(-b)。

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两个向量相减

注意

  • 向量不能与标量或维数不同的向量相加减。
  • 和标量加法一样,向量的加法满足交换律,但向量减法不满足交换律。永远有 a+b=b+a,但 a-b=-(b-a),仅当a=b时,a-b=b-a。

几何解释


向量a和b相加的几何解释为:

平衡向量,使向量a的头连接向量b的尾,接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的三角形法则

向量的减法与之类似。

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2D向量加减法的三角形法则

三角形法则能扩展到多个向量的情形中。

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三角形法则扩展到多个向量

向量能被解释为与轴平行的位移序列。

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向量解释为位移序列

一个点到另一个点的向量


通过三角形法则和向量减法解决。

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用2D向量减法计算从a到b的向量

距离公式


计算两点之间的距离。

从几何意义上说,两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度。

3D情况:

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a到b的距离等于向量d的长度。

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3D距离公式

2D中的公式更简单。

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2D距离公式

向量点乘


标题和向量可以相乘,两个向量也可以相乘,有两种不同类型的向量乘法。

首先是点乘内积)。

运算法则


术语点乘来自记法a.b中的点号。与标量与向量的乘法一样,向量点乘的优先给高于加法和减法。

标量乘法和标量与向量的乘法经常可以省略乘号,但在点乘中不能省略。

向量点乘就是对应分量乘积的和,其结果是一个标量

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向量点乘

用连加符号简写为:

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向量点乘的连加记法

应用到2D、3D中,为:

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2D与3D点乘

几何解释


一般来说,点乘结果描述了两个向量的相似程序,点乘结果越大,两向量越相近。几何解释更加直接。

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点乘和向量间的夹角相关

点乘等于向量大小与夹角的cos值的积:

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向量点乘的几何解释

如果a、b是单位向量,就可以以避免除法运算。这种情况下,分母是1,只剩下:

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计算两个向量的夹角

如果不需要的确切值而只需要a和b夹角的类型,可以只取用点乘结果的符号。

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点乘结果的符号可大致确定 的类型

向量大小并不影响点乘结果的符号,所以上表是和a、b无关的。

如果a、b中任意一个为0,那么a.b的结果也等于0.

因此,点乘对零向量的解释是,零向量的任意其它向量都垂直。

向量投影


给定两个向量v和n,能将v分解成两个分量:v(   )和v(_ )。它们分别平行和垂直于n,并满足v=v( _)+v(   )。一般称平行分量v(   )为v在n上的投影。

使用点乘计算投影。

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向量的投影

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v(   )计算公式
只要能够示出v(   )的模,就能够计算出该投影向量的值,利用三角分解求值:

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向量的投影

当然,如果n是单位向量,除法就不必要了。

知道v(   ),求v(_ _)就很容易了,如下:

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向量叉乘


另一种向量乘法称作叉乘叉积),仅可应用于3D向量。和点乘不一样,点乘得到一个标量并满足交换律,向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。

运算法则


和点乘一样,术语叉乘来自记法a X b中的叉号。这里把叉乘号写出来,不能像标量乘法那样省略它。

叉乘公式为:

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叉乘

示例如下:

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叉乘的运算优先级和点乘一样,乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一直时,叉乘优先计算:a.bXc = a.(bXc)。

因此点乘返回一个标量,同时标量和向量间不能叉乘,所以(a.b)Xc没有定义。

运算a.(bXc)称作三重积

几何解释


叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。

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向量叉乘

图中,向量a和b在一个平面中,向量aXb指向该平面的正上方,垂直于a和b。

aXb的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积,如下:

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叉乘的长度与向量夹角的sin值有关。

可以看到,   aXb   也等于以a和b为两边的平行四边形的面积。

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叉乘和平等四边形的面积

由经典几何知道可知平行四边形的面积是bh,即底和高的乘积。可以验证这一点,通过把一端的三角形下来移到另一边,可构成一个矩形。

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平行四边形面积

设a、b分别为a、b的长度。

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如果a、b平行或任意一个为0,则aXb=0。叉乘对零向量的解释为:它平行任意其它向量。

注意这点和点乘的解释不同

点乘的解释是和任意其它向量垂直。

当然,定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的,因为零向量没有方向。

aXb指向哪个方向呢?

通过将a的头与b的尾相接,并检查从a到b是顺时针还是逆时针,能够确定aXb的方向。

左手坐标系

  • 如果a和b呈顺时针,aXb指向自己。
  • 如果a和b呈逆时针,aXb远离自己。

右手坐标系中,恰好相反。

  • 如果a和b呈顺时针,aXb远离自己。
  • 如果a和b呈逆时针,aXb指向自己。

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顺时针方向

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逆时针方向

注意,探测顺时针还是逆时针时,必须让a的头与b的尾相接。

叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。

线性代数公式


下表列出了一些有用的公式。

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